個(gè)人對(duì)GMAT考試考生的建議:在您看這份文檔的同時(shí),準(zhǔn)備一支筆,一張草稿紙。如果看到例題,跟我的步驟,一步一步地同時(shí)寫(xiě)下來(lái),這樣比光看屏幕,要理解得更快!
我在自己的討論稿文檔里,求余的時(shí)候,都會(huì)用到mod這個(gè)運(yùn)算符。
mod:模。意思就是求余數(shù)。
比如說(shuō):5 mod 3=2, 100 mod 11=1
讀作:五模三余二,一百模十一余一
這是標(biāo)準(zhǔn)的GMAT數(shù)學(xué)公式化寫(xiě)法,大家可能不太熟悉,但是知道意思了,其實(shí)也很簡(jiǎn)單。引入Mod,主要是可以用數(shù)學(xué)公式來(lái)寫(xiě),而且可以把求余數(shù)的問(wèn)題化簡(jiǎn)成為普通的四則運(yùn)算的問(wèn)題,也比較容易表達(dá)。
在講如何求余之前,先來(lái)普及一下余數(shù)的一些性質(zhì)。
首先就是余數(shù)的加減法:比如說(shuō)100除以7余2,36除以7余1。那么100+36除以7余幾呢?或者100-36除以7余幾呢?很顯然,只要用100除以7的余數(shù)2與36除以7的余數(shù)1進(jìn)行加減就可以得到答案。通過(guò)這個(gè)例子可以很明顯的看出來(lái),余數(shù)之間是可以加減的。
總結(jié)寫(xiě)成書(shū)面的公式的話,就是:(M+N) mod q=((M mod q)+(N mod q)) mod q
然后我們?cè)倏从鄶?shù)的乘法:我們繼續(xù)來(lái)看上面這個(gè)例子,如果要求100*36除以7的余數(shù)是多少,該怎么求呢?
GMAT數(shù)學(xué)滿分的考生會(huì)這樣做:
100=98+2=7*14+2,36=35+1=7*5+1;
這時(shí)100*36=(7*14+2)(7*5+1)=7*14*7*5 + 2*7*5 + 7*14*1 + 2*1
很明顯,100*36除以7的余數(shù)就等于2*1=2于是我們可以得出這樣的一個(gè)結(jié)論:求M*N除以q的余數(shù),就等于M除以q的余數(shù) 乘以 N除以q的余數(shù)。
類似的,如果是求N^m 除以q的余數(shù)呢?只要我們將N^m=N*N*N*...*N,也就是說(shuō)分別地用每個(gè)N除以q的余數(shù)相乘,一共m個(gè),得出的結(jié)果再對(duì)q求余數(shù),即可求出結(jié)果。
舉例來(lái)說(shuō):求11^4除以9的余數(shù)。化成公式即是:11^4 mod 9=?11^4 mod 9 = (9+2)^4 mod 9 = 2^4 mod 9 =16 mod 9 = 7
于是我們可以總結(jié)出這樣的公式:M*N mod q=(M mod q)*(N mod q) mod q( M^n mod q = (M mod q)^n mod q )那么,我們知道了這些性質(zhì)之后對(duì)解題又有什么幫助呢?
As we all know,如果一個(gè)數(shù)乘以1,還是等于原數(shù);而1的任意次方,還是等于1。
所以在解答這一類的問(wèn)題的時(shí)候,只要我們盡量把計(jì)算中的余數(shù)湊成與1相關(guān)的乘式,結(jié)果顯然會(huì)好算很多的。(或者-1,2之類的比較容易進(jìn)行計(jì)算的數(shù)字都可以,因題而異。)
舉例說(shuō)明:求3^11除以8的余數(shù)。題目即是:3^11 mod 8=?
3^11 mod 8
=3^10 * 3^1 (mod 8)
=(3^2)^5*(3^1) (mod 8)
=9^5 * 3 (mod 8)
=(8+1)^5 * 3 (mod 8)
=1^5 *3 (mod 8)
=3發(fā)現(xiàn)沒(méi)有,甚至沒(méi)有去計(jì)算什么尾數(shù)的規(guī)律,答案就算出來(lái)了,而且只用了加減乘除。
那么再來(lái)看一道題目:求 (2^100)*(3^200) 除以7的余數(shù)
先化成計(jì)算公式:
(2^100)*(3^200) mod 7
=[2^(3*33 + 1)] * [3^(3*66 + 2)] mod 7
=[(2^3)^33 * 2] * [(3^3)^66 * 3^2] mod 7
=(8^33 * 2) * (27^66 * 9) mod 7
=[(7+1)^33 * 2] * [(28-1)^66 * 9] mod 7
=(1^33 * 2)* [(-1)^66 * 9] mod 7
=2*9 mod 7
=4
注意:如果余數(shù)有負(fù)號(hào),就當(dāng)做負(fù)數(shù)一樣計(jì)算。
我步驟寫(xiě)得很詳細(xì),但其實(shí)只要是熟練了,基本上只要三四步答案一定就出來(lái)了,有沒(méi)有覺(jué)得很簡(jiǎn)單呢?趕緊找一兩題來(lái)練練手吧,甚至隨便寫(xiě)幾個(gè)數(shù)字來(lái)做做試試看,像我上面的例題都是臨時(shí)編的。
以上就是小編整理的GMAT考試關(guān)于數(shù)學(xué)求余數(shù)問(wèn)題的詳細(xì)介紹,求余數(shù)一直是GMAT數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考試部分。所以大家想拿到GMAT數(shù)學(xué)滿分的話還是要下不少功夫的,最后祝大家考試順利。
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