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簡單破解GMAT數(shù)學(xué)求余數(shù)題的方法

所屬教程:GMAT數(shù)學(xué)

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  GMAT考試復(fù)習(xí)過程中,很多考生對于GMAT數(shù)學(xué)的準(zhǔn)備是很成功的。我們也能看到不少同學(xué)在這一方面拿到了GMAT數(shù)學(xué)滿分,拿滿分肯定是要對考試的各個部分都準(zhǔn)備好的。求余數(shù)問題一直是數(shù)學(xué)考試的重點項,小編下面就仔細(xì)的告訴大家:

  個人對GMAT考試考生的建議:在您看這份文檔的同時,準(zhǔn)備一支筆,一張草稿紙。如果看到例題,跟我的步驟,一步一步地同時寫下來,這樣比光看屏幕,要理解得更快!

  我在自己的討論稿文檔里,求余的時候,都會用到mod這個運算符。

  mod:模。意思就是求余數(shù)。

  比如說:5 mod 3=2, 100 mod 11=1

  讀作:五模三余二,一百模十一余一

  這是標(biāo)準(zhǔn)的GMAT數(shù)學(xué)公式化寫法,大家可能不太熟悉,但是知道意思了,其實也很簡單。引入Mod,主要是可以用數(shù)學(xué)公式來寫,而且可以把求余數(shù)的問題化簡成為普通的四則運算的問題,也比較容易表達(dá)。

  在講如何求余之前,先來普及一下余數(shù)的一些性質(zhì)。

  首先就是余數(shù)的加減法:比如說100除以7余2,36除以7余1。那么100+36除以7余幾呢?或者100-36除以7余幾呢?很顯然,只要用100除以7的余數(shù)2與36除以7的余數(shù)1進(jìn)行加減就可以得到答案。通過這個例子可以很明顯的看出來,余數(shù)之間是可以加減的。

  總結(jié)寫成書面的公式的話,就是:(M+N) mod q=((M mod q)+(N mod q)) mod q

  然后我們再看余數(shù)的乘法:我們繼續(xù)來看上面這個例子,如果要求100*36除以7的余數(shù)是多少,該怎么求呢?

  GMAT數(shù)學(xué)滿分的考生會這樣做:

  100=98+2=7*14+2,36=35+1=7*5+1;

  這時100*36=(7*14+2)(7*5+1)=7*14*7*5 + 2*7*5 + 7*14*1 + 2*1

  很明顯,100*36除以7的余數(shù)就等于2*1=2于是我們可以得出這樣的一個結(jié)論:求M*N除以q的余數(shù),就等于M除以q的余數(shù) 乘以 N除以q的余數(shù)。

  類似的,如果是求N^m 除以q的余數(shù)呢?只要我們將N^m=N*N*N*...*N,也就是說分別地用每個N除以q的余數(shù)相乘,一共m個,得出的結(jié)果再對q求余數(shù),即可求出結(jié)果。

  舉例來說:求11^4除以9的余數(shù)。化成公式即是:11^4 mod 9=?11^4 mod 9 = (9+2)^4 mod 9 = 2^4 mod 9 =16 mod 9 = 7

  于是我們可以總結(jié)出這樣的公式:M*N mod q=(M mod q)*(N mod q) mod q( M^n mod q = (M mod q)^n mod q )那么,我們知道了這些性質(zhì)之后對解題又有什么幫助呢?

  As we all know,如果一個數(shù)乘以1,還是等于原數(shù);而1的任意次方,還是等于1。

  所以在解答這一類的問題的時候,只要我們盡量把計算中的余數(shù)湊成與1相關(guān)的乘式,結(jié)果顯然會好算很多的。(或者-1,2之類的比較容易進(jìn)行計算的數(shù)字都可以,因題而異。)

  舉例說明:求3^11除以8的余數(shù)。題目即是:3^11 mod 8=?

  3^11 mod 8

  =3^10 * 3^1 (mod 8)

  =(3^2)^5*(3^1) (mod 8)

  =9^5 * 3 (mod 8)

  =(8+1)^5 * 3 (mod 8)

  =1^5 *3 (mod 8)

  =3發(fā)現(xiàn)沒有,甚至沒有去計算什么尾數(shù)的規(guī)律,答案就算出來了,而且只用了加減乘除。

  那么再來看一道題目:求 (2^100)*(3^200) 除以7的余數(shù)

  先化成計算公式:

  (2^100)*(3^200) mod 7

  =[2^(3*33 + 1)] * [3^(3*66 + 2)] mod 7

  =[(2^3)^33 * 2] * [(3^3)^66 * 3^2] mod 7

  =(8^33 * 2) * (27^66 * 9) mod 7

  =[(7+1)^33 * 2] * [(28-1)^66 * 9] mod 7

  =(1^33 * 2)* [(-1)^66 * 9] mod 7

  =2*9 mod 7

  =4

  注意:如果余數(shù)有負(fù)號,就當(dāng)做負(fù)數(shù)一樣計算。

  我步驟寫得很詳細(xì),但其實只要是熟練了,基本上只要三四步答案一定就出來了,有沒有覺得很簡單呢?趕緊找一兩題來練練手吧,甚至隨便寫幾個數(shù)字來做做試試看,像我上面的例題都是臨時編的。

  以上就是小編整理的GMAT考試關(guān)于數(shù)學(xué)求余數(shù)問題的詳細(xì)介紹,求余數(shù)一直是GMAT數(shù)學(xué)的重點考試部分。所以大家想拿到GMAT數(shù)學(xué)滿分的話還是要下不少功夫的,最后祝大家考試順利。


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